凡是要求教師課堂上做到的教材首先做到——以教材改革引領(lǐng)、支撐教學(xué)改革

教材對(duì)于教師猶如劇本對(duì)于演員。它是包括教師備課、講課，學(xué)生課前預(yù)習(xí)、課后復(fù)習(xí)等整個(gè)教學(xué)系統(tǒng)的“根”，它基本決定了教師“教什么”。同時(shí)它也是教師學(xué)習(xí)“怎么教”的第一任教師。新教師基本上是依賴教材學(xué)習(xí)教學(xué)的。因此，為推動(dòng)教學(xué)改革向縱深發(fā)展，首先要有教材做支撐。將教學(xué)改革的理念融入教材。凡是要求教師課堂上做到的教材首先做到，使教師在“照本宣科”中就能改革教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)方法。這是使教學(xué)改革遍地開(kāi)花、教學(xué)質(zhì)量得到普遍提升的最直接、最快速、最有效的方法。筆者正是懷著這樣的初心，將長(zhǎng)期教學(xué)中的積淀融入知識(shí)的傳授之中，編寫(xiě)出版了《高等數(shù)學(xué)》（第二版）（高等教育出版社，2022年8月），形成如下的鮮明特點(diǎn)。

教基礎(chǔ)  

定義是“根”、是基石，其他知識(shí)是由定義衍生出來(lái)的。本書(shū)特別重視基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)。為此，在定義、定理、例題附近插入邊框提出問(wèn)題，提示、啟發(fā)學(xué)生思考、分析。以使學(xué)生理解定義的內(nèi)涵與外延；學(xué)到定理證明的思想方法、對(duì)定理有更深刻的認(rèn)識(shí)；尋求例題的解題思路，總結(jié)解題的收獲，使認(rèn)識(shí)得以提升與升華。打開(kāi)課本就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這類例子在書(shū)中隨處可見(jiàn)。

邊框?yàn)榻處煂?shí)施互動(dòng)式、討論式教學(xué)提供支撐，使學(xué)生課后看書(shū)不是被動(dòng)地接受，而是與課本形成互動(dòng)，參與問(wèn)題的解決。另外，全書(shū)每一節(jié)的習(xí)題A第1題都是“判斷下列論述是否正確，并說(shuō)明理由”，使讀者對(duì)本節(jié)的基本知識(shí)有一個(gè)清晰的理解與認(rèn)識(shí)，是“教基礎(chǔ)”的重要一環(huán)。

教認(rèn)知  

培養(yǎng)學(xué)生正確的認(rèn)知能力是教師的職責(zé)。筆者在長(zhǎng)期的教學(xué)、科研實(shí)踐中總結(jié)出用“已知”認(rèn)識(shí)“未知”、用“已知”研究“未知”，用“已知”解決“未知”的規(guī)則，被人稱為人類認(rèn)知世界的基本準(zhǔn)則。它也是人類文明發(fā)展所遵循的基本規(guī)則，人類文明的每一步前進(jìn)，科學(xué)技術(shù)的每一個(gè)發(fā)現(xiàn)與發(fā)明，無(wú)不遵循這一規(guī)律。學(xué)生學(xué)習(xí)每一個(gè)新知識(shí)，無(wú)不是用已有的知識(shí)（“已知”）去認(rèn)識(shí)、理解與接受新知識(shí)（“未知”）。

我們將這一認(rèn)知規(guī)則作為全書(shū)的主線貫穿到每一個(gè)章節(jié)。引入新概念、證明新命題、求

解例題，都著力引導(dǎo)學(xué)生去尋找認(rèn)識(shí)、研究、解決面臨的“未知”所需要的“已知”、或?qū)⒛吧?ldquo;未知”轉(zhuǎn)化為熟悉的“已知”。例如，為引入導(dǎo)數(shù)而研究瞬時(shí)速度時(shí)（上冊(cè)第80頁(yè)），首先指出，“正像在‘引論’中所說(shuō)，何謂變速運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度？怎么計(jì)算？這些都是‘未知’。為研究、解決這一‘未知’，我們自然想到中小學(xué)所學(xué)過(guò)的‘勻速運(yùn)動(dòng)的速度’這一‘已知’”。再如，為引出反常積分（上冊(cè)第266頁(yè)），首先指出，“不難猜想，這需要利用定積分的概念與極限作“已知”來(lái)認(rèn)識(shí)與研究它”。這樣講課，不僅使學(xué)生知道“是什么”“怎么做”，還知道“為什么”“怎么想”；還能自覺(jué)不自覺(jué)地變灌輸式為互動(dòng)式、討論式。

層次清晰、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，能調(diào)動(dòng)起學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望與興趣，培養(yǎng)出學(xué)生的能力。國(guó)際著名教育家蘇霍姆林斯基說(shuō)，“教給學(xué)生能借助已有的知識(shí)去獲取知識(shí)是最高的教育技巧”。因此，用基本認(rèn)知準(zhǔn)則引領(lǐng)教學(xué)，就能容易地使教師的教學(xué)達(dá)到“最高的教育技巧”。學(xué)生掌握這一思想，將終生受益。

教思想  

微積分難成為社會(huì)公識(shí)。它之所以難是因?yàn)槲⒎e分是變量數(shù)學(xué)。它研究的兩個(gè)最基本的問(wèn)題是求變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度與位移（曲邊形面積），這與中小學(xué)學(xué)習(xí)的常量數(shù)學(xué)在認(rèn)知上有一條難以跨越的鴻溝，是導(dǎo)致微積分難的“七寸”?，F(xiàn)在教材中流行的導(dǎo)數(shù)與積分的定義基本上是19世紀(jì)柯西等人給出的。受歷史的局限，他延用前人的做法，由研究變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度引出導(dǎo)數(shù)；而與研究瞬時(shí)速度毫無(wú)關(guān)聯(lián)地尋找求曲邊梯形面積及變速直線運(yùn)動(dòng)的位移的方法，引出了定積分。它們（包括六類多元函數(shù)的積分）中的每一個(gè)的建立都使學(xué)生在認(rèn)知上發(fā)生一次跳躍。認(rèn)知的一次次跳躍使學(xué)生學(xué)起來(lái)猶如聽(tīng)天書(shū)，起初的好奇變成厭惡，微積分怎能不難！

筆者用“用‘已知’解決‘未知’”的認(rèn)知準(zhǔn)則來(lái)審視微積分所研究的兩個(gè)基本問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)它們雖然存在著微觀與宏觀的差異，但卻是“同根同源”（源于非均勻）。解決它們應(yīng)遵循局部、以勻代非勻、初等方法求近似、“局部”無(wú)限變小求極限的相同思想方法。本書(shū)首先通過(guò)研究變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度總結(jié)出微積分的基本思想方法。利用這一思想引出導(dǎo)數(shù)的定義（上冊(cè)，81頁(yè)）。在通過(guò)研究變速直線運(yùn)動(dòng)的路程引出定積分時(shí)（上冊(cè)217頁(yè)）指出，“注意到它是‘變速’運(yùn)動(dòng)，不由使我們聯(lián)想到到第二章為引入導(dǎo)數(shù)所討論的求變速直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度問(wèn)題。二者看似是截然不同的兩類問(wèn)題，但它們卻‘同根同源’——都源于速度的非均勻變化。因此，研究它們所遵循的思想與采用的方法應(yīng)是相同的”。于是利用微積分的基本思想方法得到路程的精準(zhǔn)值。類似地，用面積分布均勻的矩形來(lái)近似代替曲邊形，進(jìn)而抽象為定積分（上冊(cè)，218頁(yè)）。

這樣做，不僅將問(wèn)題變得簡(jiǎn)單清晰，使教師易教、學(xué)生易學(xué)，大大減輕教學(xué)的難度，更使學(xué)生學(xué)到微積分的精髓、真諦與靈魂。本書(shū)還將微積分的基本思想用在多元函數(shù)的六類積分、曲率、積分應(yīng)用的微元法、由實(shí)際問(wèn)題建立微分方程等問(wèn)題上，實(shí)現(xiàn)用微積分的基本思想統(tǒng)領(lǐng)微積分的教學(xué)。這是本書(shū)對(duì)微積分教學(xué)所做的卓有成效的改革。

教猜想

牛頓有一句名言，“沒(méi)有偉大的猜想就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)”。 要?jiǎng)?chuàng)新首先要有創(chuàng)新的意識(shí)、有發(fā)現(xiàn)問(wèn)題提出問(wèn)題的能力。不能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，創(chuàng)新何以談起!因此，在傳授知識(shí)的同時(shí)要著重培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的猜想能力、問(wèn)問(wèn)題的能力。

本書(shū)通過(guò)簡(jiǎn)單的具體問(wèn)題或幾何直觀引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)，然后用“我們猜想”、“我們期盼（望）”等啟發(fā)性語(yǔ)言啟發(fā)學(xué)生提出猜想，引出問(wèn)題。培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題提出問(wèn)題的能力，敢于猜想、善于猜想的能力。比如，通過(guò)用兩種方法寫(xiě)出變速直線運(yùn)動(dòng)在某段時(shí)間內(nèi)所走的路程指出（上冊(cè)，229頁(yè)），“這是一個(gè)非常有意義的結(jié)果. 我們自然期望：如果舍去其具體的物理意義，這一結(jié)論對(duì)任意的定積分都成立”。從而引出牛頓——萊布尼茲公式。根據(jù)這里得到的計(jì)算路程公式通過(guò)求速度又發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律（上冊(cè)，230頁(yè)），提出“由此，我們猜想：......”,從而引出微積分基本定理。

再如，為討論“可降階的高階微分方程”，我們指出（上冊(cè)，314頁(yè)），“在第二節(jié)討論了一些一階微分方程的解法，下面來(lái)研究高階微分方程的求解問(wèn)題.遵循用‘已知’研究‘未知’的思想，我們自然期盼，如果能把高階微分方程化為第二節(jié)所熟悉的一階方程，就可以利用已有的一階方程的解法作‘已知’來(lái)求解了”.這樣的例子舉不勝舉。

教方法  

以傳授知識(shí)為目的的教材將知識(shí)從天而降把學(xué)生砸得暈頭轉(zhuǎn)向，是造成“數(shù)學(xué)難”、使學(xué)生厭學(xué)的一個(gè)重要原因。本書(shū)杜絕這種做法，注重由特殊（具體）到一般、由直觀到抽象、用簡(jiǎn)單替代復(fù)雜、由簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題或根據(jù)數(shù)學(xué)發(fā)展的需要、通過(guò)聯(lián)想類比等方法引入新概念，或?qū)⒁延薪Y(jié)論推廣到一般。將問(wèn)題變難為易、變抽象為具體、變“未知”為“已知”。比如，微分中值定理（上冊(cè)127頁(yè)）是理論性比較強(qiáng)的一節(jié)，學(xué)生往往望而生畏。我們從學(xué)校開(kāi)運(yùn)動(dòng)會(huì)提出一個(gè)非常有趣的直觀問(wèn)題，然后將它稍加抽象就得到微分中值定理，引起學(xué)生探索的欲望。有些公認(rèn)的純數(shù)學(xué)問(wèn)題，也盡量借用簡(jiǎn)單的問(wèn)題或幾何直觀引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出猜想，然后再抽象為一般。比如：反函數(shù)求導(dǎo)與復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（上冊(cè)99頁(yè)、102頁(yè)）。這是導(dǎo)數(shù)中的重要內(nèi)容與難點(diǎn)。原有的有關(guān)微積分的教材都采用純解析的方法抽象的研究，我們先從幾何直觀使學(xué)生輕易地發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后提出猜想，再進(jìn)行解析證明。

教文化  

本書(shū)注重?cái)?shù)學(xué)文化的傳播與學(xué)習(xí)。不僅注重介紹數(shù)學(xué)的思想與方法，而且根據(jù)數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)，配合思政教育，在適當(dāng)?shù)胤脚湟詺v史回顧及歷史人物簡(jiǎn)介，使學(xué)生了解知識(shí)產(chǎn)生與發(fā)展的艱難與漫長(zhǎng)的歷程、前人的艱辛付出，激勵(lì)學(xué)生“立大志、明大德、成大才、擔(dān)大任”，拼搏奮斗，刻苦讀書(shū)，實(shí)現(xiàn)教書(shū)育人。“激發(fā)學(xué)生的好奇 心、想象力、探求欲，培養(yǎng)具備科學(xué)家潛質(zhì)、愿意獻(xiàn)身科學(xué)研究事業(yè)的青少年群體”。

教應(yīng)用  

學(xué)習(xí)的目的在于應(yīng)用。但是僅靠教材中編者杜撰的“應(yīng)用題”不可能培養(yǎng)出學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。為此，作為選學(xué)或自學(xué)內(nèi)容，本書(shū)在有關(guān)章節(jié)引進(jìn)了數(shù)學(xué)建模的相關(guān)內(nèi)容，并介紹了一個(gè)數(shù)學(xué)軟件，以培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

另外，利用二維碼以注記的形式對(duì)有關(guān)知識(shí)點(diǎn)、平時(shí)教學(xué)中學(xué)生提出的疑難問(wèn)題等給與

注釋、補(bǔ)充，彌補(bǔ)因種種原因給學(xué)生帶來(lái)的困惑，使學(xué)有余力的學(xué)生擴(kuò)大視野、提高能力；通過(guò)二維碼把課本中分布散亂的相關(guān)知識(shí)加以系統(tǒng)、總結(jié)，便于學(xué)生清晰地掌握與運(yùn)用。

（作者：天津科技大學(xué)理學(xué)院 李偉）